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UNIEVANGÉLICA - 2025-2 - Questão 88
Matemática - 12 - GEOMETRIA PLANA
Banca
UNIEVANGÉLICA
Tipo
Múltipla Escolha
Nível
n/a
Origem
UNIEVANGÉLICA
Enunciado
Resolva a questão, teste seu gabarito e consulte uma pista por vez.
![O HEXAGONO REGULAR FORMADO PELOS PONTOS A, B, E, F, G, H ESTA INSCRITO EM CIRCULO DE RAIO R = 9 CM E FORMA COM OS PONTOS A, B, C DESSE CIRCULO O TRIANGULO EQUILATERO ACB. A PARTIR DO TRIANGULO ACB ESTABELECENDO O PONTO MEDIO DO LADO BC E AC UM NOVO TRIANGULO EQUILATERO E FORMADO MCI, CONFORME O DESENHO A SEGUIR.
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SABENDO QUE
PI = 314 E \SQRT{3} = 1,73, \SEN{60^O} = \FRAC{\SQRT{3}}{2} E \COS{60^O} = \FRAC{1}{2}, CALCULANDO O VALOR DAS AREAS SOMBREADAS DO DESENHO, O RESULTADO SERA APROXIMADAMENTE
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O HEXAGONO REGULAR FORMADO PELOS PONTOS A, B, E, F, G, H ESTA INSCRITO EM CIRCULO DE RAIO R = 9 CM E FORMA COM OS PONTOS A, B, C DESSE CIRCULO O TRIANGULO EQUILATERO ACB. A PARTIR DO TRIANGULO ACB ESTABELECENDO O PONTO MEDIO DO LADO BC E AC UM NOVO TRIANGULO EQUILATERO E FORMADO MCI, CONFORME O DESENHO A SEGUIR. \BEGIN{CENTER} \END{CENTER} SABENDO QUE PI = 314 E \SQRT{3} = 1,73, \SEN{60^O} = \FRAC{\SQRT{3}}{2} E \COS{60^O} = \FRAC{1}{2}, CALCULANDO O VALOR DAS AREAS SOMBREADAS DO DESENHO, O RESULTADO SERA APROXIMADAMENTE \BEGIN{MULTICOLS}{2} \BEGIN{ENUMERATE}[LABEL=\ALPH*)] \ITEM 102,70 CM^2 \ITEM 52,90 CM^2 \ITEM 245,84 CM^2 \ITEM 61,69 CM^2 \END{ENUMERATE} \END{MULTICOLS}
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Uma pista de cada vez
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Dicas
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Use as dicas depois de tentar resolver por conta propria. Elas foram pensadas para destravar seu raciocinio sem entregar tudo de uma vez.
Este problema apresenta algumas ambiguidades na sua descrição e na representação gráfica. Vamos seguir um passo a passo para calcular as áreas sombreadas com base na interpretação mais comum e direta dos elementos. **Passo 1: Entender os elementos básicos e os valores fornecidos.** Observe que o círculo tem raio r = 9 cm. Os valores de pi = 3.14, raiz de 3 = 1.73, sen 60º = raiz de 3 / 2 e cos 60º = 1/2 devem ser usados nos cálculos. A figura principal é um hexágono regular inscrito nesse círculo. **Passo 2: Calcular a área dos dois segmentos circulares sombreados (AH e BG).** Os segmentos circulares sombreados são AH e BG. Em um hexágono regular inscrito em um círculo, o lado do hexágono é igual ao raio do círculo. Portanto, a corda AH e a corda BG têm comprimento r = 9 cm. O ângulo central que subtende cada lado de um hexágono regular é 360°/6 = 60°. A área de um segmento circular é calculada como a área do setor circular menos a área do triângulo formado pelos raios e pela corda. * Primeiro, calcule a área de um setor circular com ângulo de 60° e raio r. A fórmula é (ângulo central / 360°) * pi * r². * Em seguida, calcule a área do triângulo isósceles formado pelo centro do círculo (O) e os pontos A e H (triângulo AOH). Como OA = OH = r e o ângulo AOH = 60°, o triângulo AOH é equilátero. A fórmula da área de um triângulo equilátero é (lado² * raiz de 3) / 4. Alternativamente, pode usar (1/2) * r * r * sen(60°). * A área de um segmento circular (AH) é a área do setor menos a área do triângulo AOH. * Como há dois segmentos sombreados idênticos (AH e BG), multiplique a área de um segmento por 2. **Passo 3: Determinar a natureza e o lado do triângulo MCI.** O problema afirma: "A partir do triângulo ACB estabelecendo o ponto médio do lado BC e AC um novo triângulo equilátero é formado MCI". M é o ponto médio do lado AC. MCI é um triângulo equilátero. A parte "triângulo equilátero ACB" é crucial, mas gera uma ambiguidade se A, B, C forem vértices consecutivos de um hexágono. A interpretação mais comum quando há um hexágono e um triângulo equilátero inscrito é que o triângulo equilátero se refere a um triângulo cujos vértices estão na circunferência e que é equilátero. * Assuma que o triângulo ACB é um triângulo equilátero inscrito no círculo de raio r = 9 cm. O lado de um triângulo equilátero inscrito em um círculo de raio r é dado por s = r * raiz de 3. * Calcule o comprimento do lado AC do triângulo equilátero ACB usando r e raiz de 3. * Como M é o ponto médio de AC, determine o comprimento de MC. MC será a metade do lado AC. * Como MCI é um triângulo equilátero, o seu lado é igual a MC. **Passo 4: Calcular a área do triângulo MCI.** * Use a fórmula da área de um triângulo equilátero: (lado² * raiz de 3) / 4. O lado a ser usado é o comprimento de MC calculado no Passo 3. **Passo 5: Calcular a área total sombreada.** * Some a área total dos dois segmentos circulares (Passo 2) com a área do triângulo MCI (Passo 4). Lembre-se de usar os valores fornecidos para pi, raiz de 3, sen 60º e cos 60º em todas as suas contas, arredondando apenas no resultado final para o número de casas decimais das opções.