Professor Caju

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UNIFIMES - 2025-2 - Questão 19

Matemática - 03 - TEORIA DOS NÚMEROS

Banca

VUNESP

Tipo

Múltipla Escolha

Nível

n/a

Origem

UNIFIMES

Enunciado

Resolva a questão, teste seu gabarito e consulte uma pista por vez.

O NUMERO 12 NA BASE BINARIA SE ESCREVE COMO 1100, POIS: \BEGIN{CENTER} 12 = 1 X 2^3 + 1 X 2^2 + 0 X 2^1 + 0 X 2^0 \END{CENTER} EM GERAL, SE A_0, A_1, \LDOTS, A_N SAO ZERO OU UM, ENTAO O NUMERO \BEGIN{CENTER} A_N X 2^N + A_{N-1} X 2^{N-1} + \LDOTS + A_1 X 2^1 + A_0 X 2^0 \END{CENTER} NA BASE BINARIA E REPRESENTADO COMO \BEGIN{CENTER} A_NA_{N-1} \LDOTS A_{1}A_{0} \END{CENTER} SEJAM OS NUMEROS 110011 E 1110 EXPRESSOS NA BASE BINARIA. ENTAO, NA BASE DECIMAL, ESSES NUMEROS SAO, RESPECTIVAMENTE, \BEGIN{ENUMERATE}[LABEL=(\ALPH*)] \ITEM UM NUMERO PAR E O NUMERO 8. \ITEM UM NUMERO IMPAR E O NUMERO 14. \ITEM UM NUMERO PAR E O NUMERO 14. \ITEM UM NUMERO IMPAR E O NUMERO 111. \ITEM UM NUMERO IMPAR E O NUMERO 8. \END{ENUMERATE}

O NUMERO 12 NA BASE BINARIA SE ESCREVE COMO 1100, POIS: \BEGIN{CENTER} 12 = 1 X 2^3 + 1 X 2^2 + 0 X 2^1 + 0 X 2^0 \END{CENTER} EM GERAL, SE A_0, A_1, \LDOTS, A_N SAO ZERO OU UM, ENTAO O NUMERO \BEGIN{CENTER} A_N X 2^N + A_{N-1} X 2^{N-1} + \LDOTS + A_1 X 2^1 + A_0 X 2^0 \END{CENTER} NA BASE BINARIA E REPRESENTADO COMO \BEGIN{CENTER} A_NA_{N-1} \LDOTS A_{1}A_{0} \END{CENTER} SEJAM OS NUMEROS 110011 E 1110 EXPRESSOS NA BASE BINARIA. ENTAO, NA BASE DECIMAL, ESSES NUMEROS SAO, RESPECTIVAMENTE, \BEGIN{ENUMERATE}[LABEL=(\ALPH*)] \ITEM UM NUMERO PAR E O NUMERO 8. \ITEM UM NUMERO IMPAR E O NUMERO 14. \ITEM UM NUMERO PAR E O NUMERO 14. \ITEM UM NUMERO IMPAR E O NUMERO 111. \ITEM UM NUMERO IMPAR E O NUMERO 8. \END{ENUMERATE}

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Dicas

Uma pista de cada vez

1/1v

Use as dicas depois de tentar resolver por conta propria. Elas foram pensadas para destravar seu raciocinio sem entregar tudo de uma vez.

Para resolver esta questão, você precisará converter números da base binária para a base decimal e identificar a paridade (se é par ou ímpar) dos resultados. Siga os passos abaixo: **Passo 1: Entenda a conversão de números binários para decimais.** A questão já fornece a regra geral para a conversão: um número binário AnAn−1...A1A0A_n A_{n-1}...A_1 A_0 é equivalente, na base decimal, a An×2n+An−1×2n−1+...+A1×21+A0×20A_n \times 2^n + A_{n-1} \times 2^{n-1} + ... + A_1 \times 2^1 + A_0 \times 2^0. Observe que os expoentes das potências de 2 começam em 0 para o dígito mais à direita (A0A_0) e aumentam em 1 para cada dígito à esquerda. O dígito A0A_0 é o bit menos significativo, e AnA_n é o bit mais significativo. **Passo 2: Converta o primeiro número binário (110011) para a base decimal.** Identifique cada dígito do número binário 110011. Conte as posições dos dígitos da direita para a esquerda, começando do 0. * O primeiro 1 (mais à direita) está na posição 0, então será multiplicado por 202^0. * O segundo 1 está na posição 1, então será multiplicado por 212^1. * O 0 está na posição 2, então será multiplicado por 222^2. * O outro 0 está na posição 3, então será multiplicado por 232^3. * O terceiro 1 está na posição 4, então será multiplicado por 242^4. * O último 1 (mais à esquerda) está na posição 5, então será multiplicado por 252^5. Agora, escreva a soma desses produtos, calcule cada termo e, por fim, some todos os resultados para obter o valor na base decimal. **Passo 3: Determine a paridade do primeiro número (se é par ou ímpar).** Com o valor decimal que você encontrou no Passo 2 para o número 110011, verifique se esse número é par ou ímpar. Lembre-se que um número é par se for divisível por 2 (termina em 0, 2, 4, 6, 8) e ímpar se não for (termina em 1, 3, 5, 7, 9). Uma dica útil para números binários: se o último dígito (o bit mais à direita, A0A_0) for 0, o número decimal é par; se for 1, o número decimal é ímpar. Pense na razão disso usando a fórmula do Passo 1: todos os termos, exceto A0×20A_0 \times 2^0, contêm um fator de 2 e, portanto, são pares. A paridade do número inteiro depende apenas de A0×1A_0 \times 1. **Passo 4: Converta o segundo número binário (1110) para a base decimal.** Repita o processo do Passo 2 para o número binário 1110. * Identifique as posições dos dígitos da direita para a esquerda, começando do 0. * Escreva a soma dos produtos de cada dígito pela potência de 2 correspondente à sua posição. * Calcule cada termo e some-os para encontrar o valor decimal. **Passo 5: Compare seus resultados com as opções fornecidas.** Agora você tem a paridade do primeiro número e o valor decimal do segundo número. Analise cada uma das alternativas (A, B, C, D, E) e escolha aquela que corresponde exatamente aos seus resultados.