SLMANDIC - 2017 - Questão 1

O MATEMATICO POLONES SIERPINSKI (1882-1969) ESTUDOU UMA FIGURA GEOMETRICA QUE FICOU CONHECIDA POR TRIANGULO DE SIERPINSKI, QUE SE OBTEM A PARTIR DE UM PROCESSO ITERATIVO. PARA CONSTRUIR UM TRIANGULO DE SIERPINSKI, PELO PROCESSO DE REMOCAO DE TRIANGULOS, DEVEM SER SEGUIDAS AS INSTRUCOES: \BEGIN{ENUMERATE}[LABEL=\ARABIC*.] \ITEM CONSTROI-SE UM TRIANGULO EQUILATERO. \ITEM EM SEGUIDA, DETERMINAM-SE OS PONTOS MEDIOS DE CADA UM DOS LADOS DO TRIANGULO. \ITEM ESSES PONTOS MEDIOS SAO LIGADOS PARA OBTER QUATRO TRIANGULOS EQUILATEROS MENORES. \ITEM A FIGURA A SEGUIR E O RESULTADO DA ACAO DESCRITA EM 2 E 3. \END{ENUMERATE} \BEGIN{CENTER} \END{CENTER} (OBSERVE QUE DESSES QUATRO TRIANGULOS APENAS O TRIANGULO CENTRAL ESTA INVERTIDO, EM RELACAO AO ORIGINAL; OS OUTROS TRES MANTEM A MESMA ORIENTACAO DO ORIGINAL). \BEGIN{ENUMERATE}[LABEL=\ARABIC*.] \SETCOUNTER{ENUMII}{4} \ITEM PARA A SEGUNDA ITERACAO, O TRIANGULO CENTRAL DEVE SER RETIRADO E REPETE-SE OS MESMOS PROCEDIMENTOS DESCRITOS EM 2 E 3 PARA CADA UM DOS TRES TRIANGULOS RESTANTES. \ITEM DEPOIS, PARA A TERCEIRA ITERACAO, RETIRAM-SE OS TRIANGULOS CENTRAIS, E REPETE-SE O PROCESSO PARA OS TRIANGULOS RESTANTES. \ITEM A FIGURA A SEGUIR MOSTRA O RESULTADO DESSA ITERACAO. \END{ENUMERATE} \BEGIN{CENTER} \END{CENTER} \BEGIN{ENUMERATE}[LABEL=\ARABIC*.] \SETCOUNTER{ENUMII}{7} \ITEM PARA AS DEMAIS ITERACOES, ESSES PROCEDIMENTOS DEVEM SER REPETIDOS SUCESSIVAMENTE. \END{ENUMERATE} CONSIDERE UMA SEQUENCIA DE FIGURAS EM QUE A PRIMEIRA E O TRIANGULO EQUILATERO INICIAL, A SEGUNDA A RESULTANTE DA PRIMEIRA ITERACAO, A TERCEIRA A RESULTANTE DA SEGUNDA ITERACAO, A QUARTA O RESULTADO DA TERCEIRA E ASSIM POR DIANTE. ASSIM, A FORMULA DO TERMO GERAL A_N QUE PERMITE CALCULAR A QUANTIDADE DE TRIANGULOS OBTIDOS NA N-ESIMA FIGURA, DESCONTANDO-SE OS TRIANGULOS RETIRADOS, E: \BEGIN{MULTICOLS}{2} \BEGIN{ENUMERATE}[LABEL={\ALPH*})] \ITEM A_N = 4^{N - 1} \ITEM A_N = 2.3^N - 1 \ITEM A_N = 13N + 1 \ITEM A_N = 3^{N - 1} \ITEM A_N = 3^N - 6 \END{ENUMERATE} \END{MULTICOLS}