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UNICERRADO - 2025-1 - Questão 34
Matemática - 14 - GEOMETRIA ANALÍTICA
Banca
VUNESP
Tipo
Múltipla Escolha
Nível
Médio
Origem
UNICERRADO
Enunciado
Resolva a questão, teste seu gabarito e consulte uma pista por vez.
![NO PLANO CARTESIANO, O PONTO A COINCIDE COM A ORIGEM DO SISTEMA, O PONTO B ESTA SOBRE O EIXO Y E ABCD E UM RETANGULO. A RETA R, DE EQUACAO Y = \FRAC{2X}{7} - \FRAC{8}{7}, INTERSECTA OS LADOS DO RETANGULO NOS PONTOS P E Q(18, 4), CONFORME MOSTRA A FIGURA.
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NO PLANO CARTESIANO, O PONTO A COINCIDE COM A ORIGEM DO SISTEMA, O PONTO B ESTA SOBRE O EIXO Y E ABCD E UM RETANGULO. A RETA R, DE EQUACAO Y = \FRAC{2X}{7} - \FRAC{8}{7}, INTERSECTA OS LADOS DO RETANGULO NOS PONTOS P E Q(18, 4), CONFORME MOSTRA A FIGURA. \BEGIN{CENTER} \END{CENTER} SABENDO QUE A AREA DO PENTAGONO ABCQP E 80, A AREA DO RETANGULO ABCD E \BEGIN{MULTICOLS}{5} \BEGIN{ENUMERATE}[LABEL=(\ALPH*)] \ITEM 116. \ITEM 112. \ITEM 108. \ITEM 124. \ITEM 120. \END{ENUMERATE} \END{MULTICOLS}
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Dicas
Uma pista de cada vez
1/7v
Dicas
Uma pista de cada vez
Use as dicas depois de tentar resolver por conta propria. Elas foram pensadas para destravar seu raciocinio sem entregar tudo de uma vez.
Primeiramente, observe que o ponto A coincide com a origem do sistema cartesiano, então A = (0, 0). O ponto B está sobre o eixo y, então a coordenada x de B é 0. Seja B = (0, b). Como ABCD é um retângulo e A é a origem, o lado AD estará sobre o eixo x e o lado AB sobre o eixo y. Como D está sobre o eixo x, a coordenada y de D é 0. Seja D = (d, 0). Como ABCD é um retângulo, C terá a mesma coordenada x de D e a mesma coordenada y de B, então C = (d, b). A reta r tem equação y = (2x/7) - (8/7). A reta r intersecta os lados do retângulo nos pontos P e Q. O ponto Q tem coordenadas (18, 4). Como Q está sobre um dos lados do retângulo ABCD, e Q = (18, 4), vamos analisar os lados do retângulo. Os lados são AB (vertical no eixo y), BC (horizontal em y=b), CD (vertical em x=d) e DA (horizontal no eixo x). Como a coordenada y de Q é 4, se Q estiver no lado CD (vertical em x=d), então a coordenada x de Q deve ser d, ou seja, d = 18. Se Q estiver no lado BC (horizontal em y=b), então a coordenada y de Q deve ser b, ou seja, b = 4. Vamos considerar que Q está no lado CD. Então d = 18, e C = (18, b), D = (18, 0). Como Q está em CD, a coordenada x de Q deve ser 18, o que já é dado como 18. A coordenada y de Q deve estar entre as coordenadas y de C e D, ou seja, entre 0 e b. Como a coordenada y de Q é 4, então 0 <= 4 <= b, ou seja, b >= 4. Então temos A = (0, 0), B = (0, b), C = (18, b), D = (18, 0), com b >= 4. E Q = (18, 4). O ponto P é a interseção da reta r com um dos lados do retângulo. Vamos procurar a interseção da reta r com o lado AD, que está sobre o eixo x (y=0). Substituindo y=0 na equação da reta r: 0 = (2x/7) - (8/7) => 0 = 2x - 8 => 2x = 8 => x = 4. Então P = (4, 0). O ponto P = (4, 0) está sobre o lado AD se a coordenada x de P estiver entre as coordenadas x de A e D, ou seja, entre 0 e 18. Como 0 <= 4 <= 18, P está no lado AD. Agora temos o pentágono ABCQP. A área do pentágono ABCQP é dada como 80. A área do pentágono pode ser calculada como a área do retângulo ABCD menos a área do triângulo PDQ. O triângulo PDQ tem vértices P = (4, 0), D = (18, 0), Q = (18, 4). O lado PD está sobre o eixo x, e o lado DQ é vertical. O triângulo PDQ é um triângulo retângulo com base PD e altura DQ. O comprimento de PD é a distância entre P e D no eixo x, que é |18 - 4| = 14. O comprimento de DQ é a distância entre D e Q na vertical, que é |4 - 0| = 4. A área do triângulo PDQ é (1/2) * base * altura = (1/2) * PD * DQ = (1/2) * 14 * 4 = 28. A área do retângulo ABCD é o produto dos lados AB e AD. O comprimento de AD é a coordenada x de D, que é 18. O comprimento de AB é a coordenada y de B, que é b. Área do retângulo ABCD = AB * AD = b * 18 = 18b. A área do pentágono ABCQP = Área do retângulo ABCD - Área do triângulo PDQ. 80 = Área do retângulo ABCD - 28. Área do retângulo ABCD = 80 + 28 = 108. Portanto, a área do retângulo ABCD é 108. Passo 1: Identifique as coordenadas dos pontos A, P e Q e compreenda a geometria do problema