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FUVEST - 2026 - Questão 55
Matemática - 03 - TEORIA DOS NÚMEROS
Banca
FUVEST
Tipo
Múltipla Escolha
Nível
Difícil
Origem
FUVEST
Enunciado
Resolva a questão, teste seu gabarito e consulte uma pista por vez.
![EXISTEM NUMEROS CURIOSOS NA MATEMATICA. OS NUMEROS PERFEITOS SAO ALGUNS DELES. UM NUMERO N (PARA N \IN \MATHBB{N}^*) E PERFEITO SE, E SOMENTE SE, FOR IGUAL A SOMA DE SEUS DIVISORES POSITIVOS (EXCLUINDO O PROPRIO). RELACIONANDO NUMEROS PERFEITOS E NUMEROS PRIMOS, EUCLIDES ESCREVEU UMA PROPOSICAO EM SEU FAMOSO LIVRO ``ELEMENTOS'': SE 2^N - 1 E UM NUMERO PRIMO, ENTAO 2^{N-1}(2^N - 1) E UM NUMERO PERFEITO.
CONSIDERANDO O QUE FOI EXPOSTO, E CORRETO AFIRMAR:
\BEGIN{ENUMERATE}[LABEL=({\ALPH*})]
\ITEM COM EXCECAO DE N = 1, OS 5 PRIMEIROS TERMOS DA SEQUENCIA (A_N) = (2^N - 1) SAO NUMEROS PRIMOS.
\ITEM OS TERMOS DA PROGRESSAO GEOMETRICA, CUJO PRIMEIRO TERMO E O PRIMEIRO NUMERO PERFEITO E CUJA RAZAO E 3, SAO PARES.
\ITEM OS NUMEROS 28 E 31 SAO NUMEROS PERFEITOS.
\ITEM NA PROPOSICAO DE EUCLIDES, PARA N = 4, OBTEMOS QUE 2^N - 1 NAO E PRIMO, MAS QUE 2^{N-1}(2^N - 1) E PERFEITO.
\ITEM A SEQUENCIA FORMADA PELA DIFERENCA DOS TERMOS CONSECUTIVOS DE (A_N) = (2^N - 1) E UMA PROGRESSAO ARITMETICA DE RAZAO 2.
\END{ENUMERATE}](https://owlxxsnturwkbyhahkym.supabase.co/storage/v1/object/sign/study-assets/questions/7eabec35-e069-48d8-af3b-d937535dc301/statement/original.jpg?token=eyJraWQiOiJzdG9yYWdlLXVybC1zaWduaW5nLWtleV8xNTU0NGEwYy1lYzU3LTQxNTktOTA2MC05OTM2NGI2OTk5OTIiLCJhbGciOiJIUzI1NiJ9.eyJ1cmwiOiJzdHVkeS1hc3NldHMvcXVlc3Rpb25zLzdlYWJlYzM1LWUwNjktNDhkOC1hZjNiLWQ5Mzc1MzVkYzMwMS9zdGF0ZW1lbnQvb3JpZ2luYWwuanBnIiwiaWF0IjoxNzgwNDQ0Njg4LCJleHAiOjE3ODA0NDgyODh9.Yo8AU-TXNAwWTtH4xdnT5h9q_Nt2bPkm19bjwPTNVK8)
EXISTEM NUMEROS CURIOSOS NA MATEMATICA. OS NUMEROS PERFEITOS SAO ALGUNS DELES. UM NUMERO N (PARA N \IN \MATHBB{N}^*) E PERFEITO SE, E SOMENTE SE, FOR IGUAL A SOMA DE SEUS DIVISORES POSITIVOS (EXCLUINDO O PROPRIO). RELACIONANDO NUMEROS PERFEITOS E NUMEROS PRIMOS, EUCLIDES ESCREVEU UMA PROPOSICAO EM SEU FAMOSO LIVRO ``ELEMENTOS'': SE 2^N - 1 E UM NUMERO PRIMO, ENTAO 2^{N-1}(2^N - 1) E UM NUMERO PERFEITO. CONSIDERANDO O QUE FOI EXPOSTO, E CORRETO AFIRMAR: \BEGIN{ENUMERATE}[LABEL=({\ALPH*})] \ITEM COM EXCECAO DE N = 1, OS 5 PRIMEIROS TERMOS DA SEQUENCIA (A_N) = (2^N - 1) SAO NUMEROS PRIMOS. \ITEM OS TERMOS DA PROGRESSAO GEOMETRICA, CUJO PRIMEIRO TERMO E O PRIMEIRO NUMERO PERFEITO E CUJA RAZAO E 3, SAO PARES. \ITEM OS NUMEROS 28 E 31 SAO NUMEROS PERFEITOS. \ITEM NA PROPOSICAO DE EUCLIDES, PARA N = 4, OBTEMOS QUE 2^N - 1 NAO E PRIMO, MAS QUE 2^{N-1}(2^N - 1) E PERFEITO. \ITEM A SEQUENCIA FORMADA PELA DIFERENCA DOS TERMOS CONSECUTIVOS DE (A_N) = (2^N - 1) E UMA PROGRESSAO ARITMETICA DE RAZAO 2. \END{ENUMERATE}
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Dicas
Uma pista de cada vez
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Dicas
Uma pista de cada vez
Use as dicas depois de tentar resolver por conta propria. Elas foram pensadas para destravar seu raciocinio sem entregar tudo de uma vez.
Para resolver esta questão, você precisará analisar cada alternativa individualmente, aplicando as definições de número perfeito, número primo, progressão geométrica e progressão aritmética, além da proposição de Euclides mencionada. Vamos lá: Comece por entender as definições apresentadas no enunciado. Um número n é perfeito se for igual à soma de seus divisores positivos, excluindo o próprio n. A proposição de Euclides afirma que, se 2^n - 1 é um número primo, então 2^(n-1)(2^n - 1) é um número perfeito. Essas definições e a proposição serão cruciais para avaliar as alternativas