FUVEST - 2026 - Questão 4

O CONCEITO DE ENTROPIA PERMEIA DIVERSAS AREAS DO CONHECIMENTO E FOI INTRODUZIDO NA TEORIA DA INFORMACAO POR CLAUDE SHANNON, QUE DESENVOLVEU UMA FORMA DE CALCULAR A ENTROPIA E DE UM SISTEMA, A SABER E = - \SUM_{I} P_I(X) \LOG_2 P_I(X) EM QUE P_I(X) E A PROBABILIDADE DO I-ESIMO RESULTADO PARA A VARIAVEL X. POR EXEMPLO, CONSIDERE UMA SEQUENCIA COM DUAS LETRAS A COLORIDAS, A PRIMEIRA AZUL E A SEGUNDA VERMELHA (\TEXT{\TEXTCOLOR{BLUE}{A}\TEXTCOLOR{RED}{A}}). SE ESSAS DUAS LETRAS FOSSEM COLOCADAS NUMA URNA, A PROBABILIDADE DE SE RETIRAR, SEM OBSERVAR, A LETRA AZUL, COMO NA SEQUENCIA ORIGINAL, E \FRAC{1}{2}. DEVOLVE-SE A LETRA A URNA E SORTEIA-SE NOVAMENTE. A PROBABILIDADE DE SAIR VERMELHA E NOVAMENTE \FRAC{1}{2}, E NESSE CASO TEM-SE: E = - \SUM_{I} P_I(X) \LOG_2 P_I(X) = - \LEFT( \FRAC{1}{2} \LOG_2 \FRAC{1}{2} + \FRAC{1}{2} \LOG_2 \FRAC{1}{2} \RIGHT) = 1 PARA UMA SEQUENCIA COM 4 LETRAS A, AS DUAS PRIMEIRAS AZUIS E AS DUAS ULTIMAS VERMELHAS (\TEXT{\TEXTCOLOR{BLUE}{AA}\TEXTCOLOR{RED}{AA}}), COLOCANDO-AS NUMA URNA E SORTEANDO UMA, A PROBABILIDADE DE SAIR AZUL E \FRAC{1}{2}. DEVOLVE-SE A LETRA E SORTEIA-SE NOVAMENTE. A PROBABILIDADE DA SEGUNDA LETRA SORTEADA SER AZUL, COMO NA SEQUENCIA ORIGINAL, E NOVAMENTE \FRAC{1}{2}. PROCEDENDO DESSA FORMA PARA AS DUAS LETRAS VERMELHAS, TEM-SE: E = - \SUM_{I} P_I(X) \LOG_2 P_I(X) = - \LEFT( \FRAC{1}{2} \LOG_2 \FRAC{1}{2} + \FRAC{1}{2} \LOG_2 \FRAC{1}{2} + \FRAC{1}{2} \LOG_2 \FRAC{1}{2} + \FRAC{1}{2} \LOG_2 \FRAC{1}{2} \RIGHT) = 2 COM BASE NESSAS INFORMACOES, QUAL O VALOR DA ENTROPIA E, NO CASO DE UMA SEQUENCIA COM 4 LETRAS A, SENDO AS 3 PRIMEIRAS AZUIS E A ULTIMA VERMELHA (\TEXT{\TEXTCOLOR{BLUE}{AAA}\TEXTCOLOR{RED}{A}})? \BEGIN{MULTICOLS}{3} \BEGIN{ENUMERATE}[LABEL=({\ALPH*})] \ITEM 5 - \FRAC{9}{4} \LOG_2 3 \ITEM \FRAC{1}{2} - \FRAC{5}{2} \LOG_2 3 \ITEM \FRAC{3}{2} \ITEM \FRAC{9}{4} \LOG_2 3 \ITEM 3 \END{ENUMERATE} \END{MULTICOLS}