Professor Caju

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FUVEST - 2026 - Questão 3

Matemática - 03 - TEORIA DOS NÚMEROS

Banca

FUVEST

Tipo

Múltipla Escolha

Nível

Difícil

Origem

FUVEST

Enunciado

Resolva a questão, teste seu gabarito e consulte uma pista por vez.

EM UMA ELEICAO PARA UM CONSELHO COMPOSTO POR 5 MEMBROS, EXISTEM 7 CANDIDATOS INSCRITOS E UM TOTAL DE 35 ELEITORES. SAO ELEITOS OS 5 CANDIDATOS COM MAIS VOTOS, SENDO O CRITERIO DE DESEMPATE A IDADE, ISTO E, SE HOUVER UMA SO VAGA PARA DOIS CANDIDATOS QUE EMPATARAM EM NUMERO DE VOTOS, O CANDIDATO MAIS VELHO E ELEITO E O MAIS NOVO, NAO. ALEPH, QUE E O MAIS NOVO DENTRE TODOS OS CANDIDATOS, ESTA ANALISANDO QUANTOS VOTOS PRECISA PARA GARANTIR SUA ELEICAO. SABENDO QUE CADA ELEITOR TEM DIREITO A VOTAR EM SOMENTE UM CANDIDATO E QUE, GERALMENTE, NESSAS ELEICOES, UM OU DOIS DOS ELEITORES NAO COMPARECEM PARA VOTAR, PODE-SE AFIRMAR: \BEGIN{ENUMERATE}[LABEL=({\ALPH*})] \ITEM SE UM OU DOIS ELEITORES NAO COMPARECEREM, ALEPH SERA ELEITO SE TIVER PELO MENOS 5 VOTOS. \ITEM ALEPH NAO SERA ELEITO COM 5 VOTOS, MESMO QUE UM OU DOIS ELEITORES NAO COMPARECAM. \ITEM CASO DOIS ELEITORES NAO COMPARECAM, ALEPH PRECISARA RECEBER 5 VOTOS PARA SE ELEGER. MAS, SE APENAS UM ELEITOR NAO COMPARECER, 5 VOTOS NAO GARANTEM SUA ELEICAO. \ITEM NA HIPOTESE DE DOIS ELEITORES NAO COMPARECEREM, ALEPH PRECISA QUE UM DOS ELEITOS TENHA RECEBIDO 6 OU MAIS VOTOS PARA QUE ELE CONSIGA SE ELEGER COM APENAS 4 VOTOS. \ITEM NA HIPOTESE DE APENAS UM DOS ELEITORES NAO COMPARECER, ALEPH PRECISA QUE DOIS DOS ELEITOS TENHAM RECEBIDO 6 OU MAIS VOTOS PARA QUE ELE CONSIGA SE ELEGER COM APENAS 4 VOTOS. \END{ENUMERATE}

EM UMA ELEICAO PARA UM CONSELHO COMPOSTO POR 5 MEMBROS, EXISTEM 7 CANDIDATOS INSCRITOS E UM TOTAL DE 35 ELEITORES. SAO ELEITOS OS 5 CANDIDATOS COM MAIS VOTOS, SENDO O CRITERIO DE DESEMPATE A IDADE, ISTO E, SE HOUVER UMA SO VAGA PARA DOIS CANDIDATOS QUE EMPATARAM EM NUMERO DE VOTOS, O CANDIDATO MAIS VELHO E ELEITO E O MAIS NOVO, NAO. ALEPH, QUE E O MAIS NOVO DENTRE TODOS OS CANDIDATOS, ESTA ANALISANDO QUANTOS VOTOS PRECISA PARA GARANTIR SUA ELEICAO. SABENDO QUE CADA ELEITOR TEM DIREITO A VOTAR EM SOMENTE UM CANDIDATO E QUE, GERALMENTE, NESSAS ELEICOES, UM OU DOIS DOS ELEITORES NAO COMPARECEM PARA VOTAR, PODE-SE AFIRMAR: \BEGIN{ENUMERATE}[LABEL=({\ALPH*})] \ITEM SE UM OU DOIS ELEITORES NAO COMPARECEREM, ALEPH SERA ELEITO SE TIVER PELO MENOS 5 VOTOS. \ITEM ALEPH NAO SERA ELEITO COM 5 VOTOS, MESMO QUE UM OU DOIS ELEITORES NAO COMPARECAM. \ITEM CASO DOIS ELEITORES NAO COMPARECAM, ALEPH PRECISARA RECEBER 5 VOTOS PARA SE ELEGER. MAS, SE APENAS UM ELEITOR NAO COMPARECER, 5 VOTOS NAO GARANTEM SUA ELEICAO. \ITEM NA HIPOTESE DE DOIS ELEITORES NAO COMPARECEREM, ALEPH PRECISA QUE UM DOS ELEITOS TENHA RECEBIDO 6 OU MAIS VOTOS PARA QUE ELE CONSIGA SE ELEGER COM APENAS 4 VOTOS. \ITEM NA HIPOTESE DE APENAS UM DOS ELEITORES NAO COMPARECER, ALEPH PRECISA QUE DOIS DOS ELEITOS TENHAM RECEBIDO 6 OU MAIS VOTOS PARA QUE ELE CONSIGA SE ELEGER COM APENAS 4 VOTOS. \END{ENUMERATE}

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Dicas

Uma pista de cada vez

1/2v

Use as dicas depois de tentar resolver por conta propria. Elas foram pensadas para destravar seu raciocinio sem entregar tudo de uma vez.

Para ajudar a resolver a questão, siga os passos abaixo: **Passo 1: Compreender as Regras Básicas da Eleição** Identifique o número total de membros do conselho a serem eleitos (5), o número de candidatos (7) e o número total de eleitores inscritos (35). Observe que cada eleitor tem direito a votar em apenas um candidato. **Passo 2: Entender a Regra de Desempate e a Posição de Aleph** A regra de desempate é crucial: "se houver uma só vaga para dois candidatos que empataram em número de votos, o candidato mais velho é eleito e o mais novo não". Aleph é o mais novo entre todos os candidatos. Isso significa que, em caso de empate para a última vaga (a 5ª posição) com um candidato mais velho, Aleph será desfavorecido e não será eleito. **Passo 3: Determinar a Condição de Eleição Garantida para Aleph** Considerando a regra de desempate, para Aleph ter sua eleição *garantida*, ele precisa de um número de votos tal que seja *impossível* que 5 outros candidatos (além de Aleph) obtenham a mesma quantidade de votos que ele. Se 5 outros candidatos obtiverem o mesmo número de votos que Aleph, teremos 6 candidatos com a mesma pontuação disputando 5 vagas, e Aleph, por ser o mais jovem, seria eliminado no desempate. Portanto, Aleph precisa que, no máximo, 4 outros candidatos obtenham um número de votos igual ou superior ao dele. **Passo 4: Derivar a Fórmula para o Mínimo de Votos Garantidos** Seja 'T' o número total de votos válidos e 'V_A' o número de votos de Aleph. Para garantir a eleição, V_A deve ser tal que seja impossível para 5 outros candidatos obterem V_A votos cada. Isso significa que o número total de votos disponíveis para os outros 6 candidatos (que é T - V_A) deve ser *menor* do que 5 vezes V_A. Formalmente, (T - V_A) < 5 * V_A. Resolva esta inequação para V_A para encontrar o número mínimo de votos que Aleph precisa para se eleger com garantia. Lembre-se que votos são números inteiros e a função 'piso' (floor) ou 'teto' (ceil) pode ser útil. **Passo 5: Calcular o Número de Votos Ativos em Cada Cenário** A questão apresenta diferentes cenários de comparecimento dos eleitores: * Cenário 1: Todos os 35 eleitores comparecem. Calcule T. * Cenário 2: Um eleitor não comparece. Calcule T. * Cenário 3: Dois eleitores não comparecem. Calcule T. **Passo 6: Aplicar a Fórmula de Votos Mínimos para Cada Cenário** Use a fórmula derivada no Passo 4 para calcular o número mínimo de votos (V_A) que Aleph precisa para *garantir* sua eleição em cada um dos três cenários de comparecimento de eleitores. **Passo 7: Avaliar Cada Opção (A) a (E)** Compare os resultados obtidos no Passo 6 com as afirmações de cada opção. Para cada opção, verifique se a quantidade de votos mencionada para Aleph é suficiente ou insuficiente para garantir a eleição, conforme seus cálculos para cada cenário de comparecimento de eleitores. Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa com base na sua análise.